Question

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с большим числом граней?

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/md2s1YapyLERC0OPc9y6KjCKQErfa0jckUJ5N2qw.jpg)

Accepted Answer

10

Answer

Идея решения: применить теорему Эйлера для многогранников, предварительно определив количество рёбер и граней каждого из двух многогранников, образованных сечением.

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$, пересекает куб и образует четырёхугольное сечение. Это разбивает куб на два многогранника.

Для одного из многогранников известно: 7 граней и 15 рёбер.

Для второго многогранника: 5 граней и 9 рёбер.

Многогранник с большим числом граней — это первый (7 граней).

Применим формулу Эйлера для многогранников:

$$V - E + F = 2$$

где $V$ — число вершин, $E$ — число рёбер, $F$ — число граней.

Подставим известные значения:

$$V - 15 + 7 = 2$$

$$V = 2 - 7 + 15 = 10$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/PbU6rxHToYiyrVxkOgzvzDnQRLPQZm1zjUucK549.png)

Задание №13СтереометрияЕГЭ по математике