Question

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

| Неравенства | Решения |
| --- | --- |
| А) $\log_2(x-1) < 1$ | 1) $(1;3) \cup (3;+\infty)$ |
| Б) $3^{-x} > \frac{1}{3}$ | 2) $(-\infty;1) \cup (3;+\infty)$ |
| В) $(x-3)(x-1) > 0$ | 3) $(-\infty;1)$ |
| Г) $\frac{x-1}{(x-3)^2} > 0$ | 4) $(1;3)$ |

Accepted Answer

4321

Answer

Идея решения: решить каждое неравенство отдельно и сопоставить с предложенными интервалами. **А)** $\log_2(x-1) < 1$ Область определения: $x > 1$. $$\log_2(x-1) < \log_2 2$$ $$x - 1 < 2$$ $$x < 3$$ Объединяя с ограничением: $1 < x < 3$, то есть $(1;3)$ — решение **4**. **Б)** $3^{-x} > \frac{1}{3}$ $$3^{-x} > 3^{-1}$$ $$-x > -1$$ $$x < 1$$ Решение: $(-\infty;1)$ — решение **3**. **В)** $(x-3)(x-1) > 0$ Нули множителей: $x = 1$ и $x = 3$. Произведение положительно при $x < 1$ или $x > 3$. Решение: $(-\infty;1) \cup (3;+\infty)$ — решение **2**. **Г)** $\frac{x-1}{(x-3)^2} > 0$ Числитель обращается в нуль при $x = 1$; знаменатель обращается в нуль при $x = 3$ (исключается из области определения). Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x eq 3$, поэтому нужно $x - 1 > 0$, откуда $x > 1$. С учётом исключения $x eq 3$: решение $(1;3) \cup (3;+\infty)$ — решение **1**.

Неравенства	Решения
А) $\log_2(x-1) < 1$	1) $(1;3) \cup (3;+\infty)$
Б) $3^{-x} > \frac{1}{3}$	2) $(-\infty;1) \cup (3;+\infty)$
В) $(x-3)(x-1) > 0$	3) $(-\infty;1)$
Г) $\frac{x-1}{(x-3)^2} > 0$	4) $(1;3)$

Задание №17Уравнения и неравенстваЕГЭ по математике