Question

Сумма двух углов ромба равна $120°$, а его меньшая диагональ равна $27$. Найдите периметр ромба.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/pLcufo5fCEr5M4B7EbeyASJRXPkqBviBUESRORfs.jpg)

Accepted Answer

108

Answer

Идея решения: использовать свойство углов ромба и определить, что треугольник, образованный двумя сторонами и меньшей диагональю, является равносторонним.

Углы ромба, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180°$ (как односторонние углы при параллельных сторонах и секущей). Следовательно, сумма $120°$ относится к двум противоположным острым углам ромба.

Каждый из этих углов равен:

$$\frac{120°}{2} = 60°$$

Рассмотрим треугольник, образованный двумя соседними сторонами ромба и его меньшей диагональю. Угол при вершине ромба в этом треугольнике равен $60°$. Поскольку две стороны ромба равны между собой, треугольник равнобедренный. Два оставшихся угла равны:

$$\frac{180° - 60°}{2} = 60°$$

Таким образом, все три угла треугольника равны $60°$, что означает, он равносторонний. Следовательно, все его стороны равны, в том числе стороны ромба равны меньшей диагонали:

$$a = 27$$

Периметр ромба:

$$P = 4a = 4 \cdot 27 = 108$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/zOZJsbdeajVPB4Agl54pwI3jQz3Pk8nQXQpIZLF4.png)

Задание №12ПланиметрияЕГЭ по математике