Question

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 600, которое при делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 3, и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Accepted Answer

843

Answer

Идея решения: число, дающее остаток 3 при делении на 5, оканчивается на 3 или 8; условие убывания цифр исключает 8, поэтому число имеет вид $100x + 10y + 3$, где $x > y > 3$.

Число, которое при делении на 5 даёт остаток 3, оканчивается на 3 или 8. Поскольку цифры расположены в порядке убывания и больше 8 только 9, цифра 8 не может стоять в конце. Следовательно, число оканчивается на 3.

Представим число в виде:
$$100x + 10y + 3$$

где $x$ — первая цифра, $y$ — вторая цифра.

Тогда $100x + 10y$ должно делиться нацело на 4 и на 6.

По признаку делимости на 4: число $10y$ делится на 4, откуда $y \in \{4, 6, 8\}$.

По признаку делимости на 6: число $100x + 10y + 3$ делится на 6, то есть делится на 3. Сумма цифр $x + y + 3$ делится на 3, откуда $x + y$ делится на 3.

При $y = 4$: с учётом убывания цифр получаем $x = 8$. Проверим: $8 + 4 = 12$ делится на 3. Число: 843.

При $y = 6$: с учётом убывания цифр получаем $x = 9$. Проверим: $9 + 6 = 15$ делится на 3. Число: 963.

При $y = 8$: требуется $x > 8$, то есть $x = 9$. Проверим: $9 + 8 = 17$ не делится на 3. Этот случай не подходит.

Задание №21Логика и анализ утвержденийЕГЭ по математике