Question

Найдите $	an\alpha$, если $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{29}}{29}$ и $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}ight)$.

Accepted Answer

0,4

Answer

Идея решения: используем основное тригонометрическое тождество для нахождения косинуса, затем вычисляем тангенс как отношение синуса к косинусу.

Из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$$

Подставим значение синуса:

$$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{29}}{29}ight)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 29}{29^2} = 1 - \frac{116}{841}$$

$$\cos^2\alpha = \frac{841 - 116}{841} = \frac{725}{841}$$

$$\cos\alpha = \pm\frac{\sqrt{725}}{29} = \pm\frac{5\sqrt{29}}{29}$$

Поскольку $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}ight)$ (первая четверть), косинус положителен:

$$\cos\alpha = \frac{5\sqrt{29}}{29}$$

Вычислим тангенс:

$$	an\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2\sqrt{29}}{29} : \frac{5\sqrt{29}}{29} = \frac{2\sqrt{29}}{29} \cdot \frac{29}{5\sqrt{29}} = \frac{2}{5} = 0{,}4$$

Задание №16Числа и выраженияЕГЭ по математике