Question

Сумма двух углов ромба равна $120°$, а его периметр равен $84$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/pLcufo5fCEr5M4B7EbeyASJRXPkqBviBUESRORfs.jpg)

Accepted Answer

21

Answer

Идея решения: найти сторону ромба из периметра, определить углы, затем использовать свойство диагоналей и треугольников, образованных ими.

Поскольку все стороны ромба равны, его сторона составляет:

$$a = \frac{84}{4} = 21$$

Сумма двух углов ромба равна $120°$. В ромбе противоположные углы равны, поэтому два острых угла равны:

$$\alpha = \frac{120°}{2} = 60°$$

Сумма остальных двух углов:

$$360° - 120° = 240°$$

Каждый из этих углов:

$$\beta = \frac{240°}{2} = 120°$$

Меньшая диагональ ромба соединяет вершины с острыми углами $60°$. Диагонали ромба делят его на четыре треугольника. Рассмотрим треугольник, образованный двумя соседними сторонами и меньшей диагональю. Этот треугольник имеет две стороны длины $21$ (стороны ромба) и угол между ними $60°$.

Такой треугольник является равносторонним, поскольку две его стороны равны и угол между ними $60°$. Следовательно, третья сторона (меньшая диагональ) также равна $21$.

Задание №15Практическая математикаЕГЭ по математике