Question

Длина ребра куба $	ext{ABCDA}_1	ext{B}_1	ext{C}_1	ext{D}_1$ равна 12. На рёбрах $	ext{AB}$ и $	ext{BC}$ отмечены точки $K$ и $P$ — середины рёбер соответственно. Найдите объём пирамиды $	ext{B}_1	ext{BKP}$.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/6MxxR7eRJzfBDAHXJx8IJYzgLLp2prvCLVbhmv9k.png)

Accepted Answer

72

Answer

Идея решения: пирамида имеет вершину $	ext{B}_1$ и треугольное основание $	ext{BKP}$ в нижней грани куба; найдём площадь основания и применим формулу объёма.

Обозначим длину ребра куба как $a = 12$.

Поскольку $K$ и $P$ — середины рёбер $	ext{AB}$ и $	ext{BC}$, имеем:

$$	ext{BK} = \frac{a}{2} = 6, \quad 	ext{BP} = \frac{a}{2} = 6$$

Угол $\angle 	ext{KBP} = 90°$ (так как рёбра куба перпендикулярны). Площадь прямоугольного треугольника $	ext{BKP}$:

$$S_{	ext{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 	ext{BK} \cdot 	ext{BP} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$$

Высота пирамиды — расстояние от вершины $	ext{B}_1$ до плоскости основания (грани $	ext{ABCD}$), равное длине ребра куба:

$$h = a = 12$$

Объём пирамиды:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{	ext{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 12 = 72$$

Задание №13СтереометрияЕГЭ по математике