Question

Найдите пятизначное число, кратное 12, если известно, что каждые две соседних цифры этого числа отличаются ровно на 2. В ответ укажите ровно одно такое число.

Accepted Answer

42024

Answer

Идея решения: число должно делиться на 12, то есть на 4 и на 3 одновременно; при этом соседние цифры отличаются на 2.

Для делимости на 4 число, составленное из двух последних цифр, должно делиться на 4. Кроме того, число чётное.

Учитывая, что каждые две соседние цифры отличаются на 2, число состоит только из чётных цифр: $0, 2, 4, 6, 8$.

Возможные окончания (две последние цифры, кратные 4 и отличающиеся на 2): $20, 24, 64, 68$.

Обозначим число как $\overline{abcde}$. Если соседние цифры отличаются на 2, то:
- если $e = 0$, то $d = 2$;
- если $e = 4$, то $d = 2$ или $d = 6$;
- если $e = 8$, то $d = 6$.

Продолжая цепочку в обратном направлении, получаем возможные числа: $42024, 46464, 42420, 42468, 86424, 86868$.

Проверим делимость на 3 (сумма цифр должна делиться на 3):
- $42024$: $4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12$ — делится на 3 ✓
- $46464$: $4 + 6 + 4 + 6 + 4 = 24$ — делится на 3 ✓
- $42420$: $4 + 2 + 4 + 2 + 0 = 12$ — делится на 3 ✓
- $42468$: $4 + 2 + 4 + 6 + 8 = 24$ — делится на 3 ✓
- $86424$: $8 + 6 + 4 + 2 + 4 = 24$ — делится на 3 ✓
- $86868$: $8 + 6 + 8 + 6 + 8 = 36$ — делится на 3 ✓

Все числа удовлетворяют условиям.

Задание №19Текстовые задачи и числаЕГЭ по математике