Question

Викторина содержит 25 вопросов. За правильный ответ начисляется 7 очков, за неправильный вычитается 10 очков, за отсутствие ответа — 0 очков. Ученик набрал 42 очка и допустил хотя бы одну ошибку. Сколько вопросов он решил правильно?

Accepted Answer

16

Answer

Идея решения: обозначить количество правильных, неправильных и пропущенных ответов, составить систему уравнений и найти целое решение, удовлетворяющее условиям.

Обозначим через $x$ количество правильных ответов, $y$ — количество неправильных ответов (где $y \geq 1$ по условию) и $z$ — количество пропущенных вопросов.

Из условия, что всего 25 вопросов:

$$x + y + z = 25$$

Из условия на сумму очков:

$$7x - 10y = 42$$

Из первого уравнения выразим $z$:

$$z = 25 - x - y$$

Так как $z \geq 0$, имеем $x + y \leq 25$.

Из второго уравнения:

$$7x - 10y = 42$$

$$7x = 42 + 10y$$

$$x = 6 + \frac{10y}{7}$$

Для того чтобы $x$ было целым числом, необходимо, чтобы $10y$ делилось на 7. Поскольку $\gcd(10, 7) = 1$, число $y$ должно делиться на 7.

При $y = 1$: $x = 6 + \frac{10}{7}$ — не целое.

При $y = 7$: $x = 6 + \frac{70}{7} = 6 + 10 = 16$.

Проверим: $z = 25 - 16 - 7 = 2 \geq 0$ ✓

При $y = 14$: $x = 6 + \frac{140}{7} = 6 + 20 = 26 > 25$ — невозможно.

Следовательно, единственное решение: $x = 16$, $y = 7$, $z = 2$.

Проверка: $16 + 7 + 2 = 25$ ✓, $7 \cdot 16 - 10 \cdot 7 = 112 - 70 = 42$ ✓, $y = 7 \geq 1$ ✓

Задание №21Логика и анализ утвержденийЕГЭ по математике