Question

Найдите корень уравнения $3^{\log_9(4x+1)} = 9$.

Accepted Answer

20

Answer

Идея решения: преобразовать логарифм по основанию 9 в логарифм по основанию 3, затем применить свойство степени и логарифма.

Воспользуемся соотношением $\log_9(4x+1) = \frac{1}{2}\log_3(4x+1)$:

$$3^{\log_9(4x+1)} = 3^{\frac{1}{2}\log_3(4x+1)}$$

Применим свойство степени $(a^n)^m = a^{nm}$:

$$3^{\frac{1}{2}\log_3(4x+1)} = \left(3^{\log_3(4x+1)}\right)^{\frac{1}{2}}$$

По свойству $a^{\log_a b} = b$:

$$\left(3^{\log_3(4x+1)}\right)^{\frac{1}{2}} = (4x+1)^{\frac{1}{2}}$$

Исходное уравнение принимает вид:

$$(4x+1)^{\frac{1}{2}} = 9$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4x + 1 = 81$$

$$4x = 80$$

$$x = 20$$

Задание №17Уравнения и неравенстваЕГЭ по математике