Question

Найдите $	an\alpha$, если $\cos\alpha = -\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$ и $\alpha \in \left(\pi; \dfrac{3\pi}{2}ight)$.

Accepted Answer

1,5

Answer

Идея решения: используем основное тригонометрическое тождество для нахождения синуса, затем вычисляем тангенс как отношение синуса к косинусу.

Из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$$

Подставим значение косинуса:

$$\sin^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{2\sqrt{13}}{13}ight)^2 = 1 - \dfrac{4 \cdot 13}{169} = 1 - \dfrac{52}{169} = \dfrac{117}{169}$$

$$\sin\alpha = \pm\dfrac{\sqrt{117}}{13} = \pm\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$$

Поскольку $\alpha$ принадлежит третьей четверти $\left(\pi; \dfrac{3\pi}{2}ight)$, синус отрицателен:

$$\sin\alpha = -\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$$

Вычислим тангенс:

$$	an\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{-\dfrac{3\sqrt{13}}{13}}{-\dfrac{2\sqrt{13}}{13}} = \dfrac{3\sqrt{13}}{13} \cdot \dfrac{13}{2\sqrt{13}} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$$

Задание №16Числа и выраженияЕГЭ по математике