Question

Найти четырёхзначное число, кратное 44, у которого любые две соседние цифры отличаются на 1. В ответе указать любое такое число.

Accepted Answer

3212

Answer

Идея решения: число делится на 44 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 11 одновременно; применим оба признака делимости к четырёхзначному числу с ограничением на соседние цифры.

Число делится на 4, если его две последние цифры образуют число, делящееся на 4. По условию соседние цифры отличаются на 1, поэтому последние две цифры не могут быть нулями.

Число делится на 11, если разность между суммой цифр на нечётных позициях и суммой цифр на чётных позициях кратна 11. Для четырёхзначного числа $\overline{abcd}$ это означает:

$$a + c \equiv b + d \pmod{11}$$

Подберём последние две цифры. Если они равны 12, то число делится на 4 (так как $12 = 4 \cdot 3$), и цифры отличаются на 1. Аналогично подходят 32, 56, 76 и другие пары.

Рассмотрим число вида $\overline{ab12}$. Третья цифра должна отличаться от 2 на 1, то есть быть 1 или 3. Вторая цифра должна отличаться от первой на 1.

Для числа 3212: позиции нечётные — 3 и 1, позиции чётные — 2 и 2. Сумма: $3 + 1 = 4$ и $2 + 2 = 4$. Разность равна 0, кратна 11. ✓

Для числа 1232: позиции нечётные — 1 и 3, позиции чётные — 2 и 2. Сумма: $1 + 3 = 4$ и $2 + 2 = 4$. Разность равна 0, кратна 11. ✓

Аналогично проверяются числа 1012, 3432, 5456, 5676 — все они удовлетворяют условиям.

Задание №21Логика и анализ утвержденийЕГЭ по математике