Question

Найдите значение выражения $4\log_{1{,}25}5 \cdot \log_{5}0{,}8$.

Accepted Answer

-4

Answer

Идея решения: преобразовать основания логарифмов в удобный вид и применить формулу замены основания.

Представим основания в виде дробей:

$$4\log_{\frac{5}{4}}5 \cdot \log_{5}\frac{4}{5}$$

Заметим, что $\log_{\frac{5}{4}}5 = -\log_{\frac{4}{5}}5$ (так как $\frac{5}{4}$ и $\frac{4}{5}$ — взаимно обратные):

$$-4\log_{\frac{4}{5}}5 \cdot \log_{5}\frac{4}{5}$$

Применим формулу замены основания: $\log_{\frac{4}{5}}5 = \dfrac{1}{\log_{5}\frac{4}{5}}$

$$-4 \cdot \frac{1}{\log_{5}\frac{4}{5}} \cdot \log_{5}\frac{4}{5} = -4$$

Задание №16Числа и выраженияЕГЭ по математике