Question

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с большим числом вершин?

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/xGijyvqAtOyWGI4J7bGgcyUnzbF1kol6KBaXzT2l.png)

Accepted Answer

9

Answer

Идея решения: плоскость, пересекающая тетраэдр через три точки на его рёбрах, создаёт сечение, которое становится новой гранью. Нужно подсчитать рёбра многогранника, содержащего большее количество вершин.

Исходный тетраэдр имеет 4 вершины и 6 рёбер. Плоскость пересекает три ребра тетраэдра в точках $A$, $B$ и $C$, образуя треугольное сечение.

При таком пересечении один из двух получившихся многогранников — это усечённый тетраэдр (пирамида с отсечённой вершиной). Этот многогранник имеет:
- 3 вершины от исходного основания тетраэдра;
- 3 новые вершины в точках пересечения $A$, $B$, $C$.

Итого: 6 вершин.

Рёбра этого многогранника:
- 3 ребра исходного основания тетраэдра;
- 3 ребра, соединяющие вершины основания с точками $A$, $B$, $C$;
- 3 ребра треугольного сечения $ABC$.

Итого: $3 + 3 + 3 = 9$ рёбер.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/aedkHVGc78ZfzHUJMQJIIY9jWbMRTepdXEXxOzRP.png)

Задание №13СтереометрияЕГЭ по математике