Question

Решите неравенство:

$$\log_{11}(8x^2+7)-\log_{11}(x^2+x+1)\geq\log_{11}\left(\frac{x}{x+5}+7\right)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить свойства логарифмов, привести к рациональному неравенству и найти решение с учётом области определения. Область определения правой части: $x < -5$ или $x > -\frac{35}{8}$. Выражение $8x^2+7$ всегда положительно при любых $x$. Кроме того, $x^2+x+1 = \left(x+\frac{1}{2} ight)^2 + \frac{3}{4} > 0$ для всех $x$. Упростим аргумент логарифма справа: $$\frac{x}{x+5}+7 = \frac{x+7(x+5)}{x+5} = \frac{8x+35}{x+5}$$ Неравенство принимает вид: $$\log_{11}\frac{8x^2+7}{x^2+x+1}\geq\log_{11}\frac{8x+35}{x+5}$$ Поскольку логарифм — возрастающая функция: $$\frac{8x^2+7}{x^2+x+1}\geq\frac{8x+35}{x+5}$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{8x^3+40x^2+7x+35}{(x+5)(x^2+x+1)}\geq\frac{8x^3+43x^2+43x+35}{(x+5)(x^2+x+1)}$$ $$\frac{8x^3+40x^2+7x+35-8x^3-43x^2-43x-35}{(x+5)(x^2+x+1)}\geq 0$$ $$\frac{-3x^2-36x}{(x+5)(x^2+x+1)}\geq 0$$ $$\frac{-3x(x+12)}{(x+5)(x^2+x+1)}\geq 0$$ $$\frac{3x(x+12)}{(x+5)(x^2+x+1)}\leq 0$$ Знаменатель $(x+5)(x^2+x+1)$ всегда положителен при $x eq -5$ (так как $x^2+x+1 > 0$). Решаем $3x(x+12) \leq 0$: получаем $-12 \leq x \leq 0$. Учитывая ограничения области определения $x < -5$ или $x > -\frac{35}{8}$: - Из $-12 \leq x \leq 0$ и $x < -5$: получаем $-12 \leq x < -5$. - Из $-12 \leq x \leq 0$ и $x > -\frac{35}{8}$: получаем $-\frac{35}{8} < x \leq 0$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике