Question

а) Решите уравнение $\cos 2x - 3\sin(-x) - 2 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу двойного угла для косинуса, упростить уравнение до квадратного относительно синуса, найти все решения и отобрать те, что лежат в заданном промежутке.

**а) Решение уравнения**

Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и свойство $\sin(-x) = -\sin x$:

$$1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$$

$$2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$$

Введём замену $t = \sin x$, где $t \in [-1; 1]$:

$$2t^2 - 3t + 1 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 9 - 8 = 1$$

$$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$

Возвращаемся к переменной $x$:

При $\sin x = 1$:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

При $\sin x = \frac{1}{2}$:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad 	ext{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}ight]$**

Проверим каждую серию решений.

Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: при $k = 2$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$ — принадлежит отрезку.

Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = 2$ имеем $x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \approx 4{,}17\pi$. Проверим: $3\pi < \frac{25\pi}{6} < \frac{9\pi}{2}$ равносильно $18 < 25 < 27$ — верно. Корень принадлежит отрезку.

Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx 2{,}83\pi < 3\pi$ — не подходит. При $k = 2$ имеем $x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \approx 4{,}83\pi > \frac{9\pi}{2} = 4{,}5\pi$ — не подходит.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике