Question

На доске написано трёхзначное число $A$. Сережа зачеркивает одну цифру и получает двузначное число $B$, затем Коля записывает число $A$ и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что и Сережа), и получает число $C$.

а) Может ли быть верным уравнение $A = B \cdot C$, если $A > 140$?

б) Может ли быть верным уравнение $A = B \cdot C$, если $440 \leq A < 500$?

в) Найдите наибольшее число $A$ до 900, чтобы было верным уравнение $A = B \cdot C$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: проверить конкретные примеры для пунктов а) и б), а для пункта в) систематически исключить числа, начиная с наибольших. **а)** Да, такое возможно. Пример: $210 = 21 \cdot 10$. **б)** Предположим, что $A$ лежит в диапазоне $440 \leq A < 500$. При зачеркивании любой цифры из трёхзначного числа, начинающегося с 4, получится двузначное число, не меньшее 40. Следовательно, произведение $B \cdot C$ будет не меньше $40 \cdot 40 = 1600$, что превышает 500. Таким образом, уравнение $A = B \cdot C$ в этом диапазоне невозможно. **в)** Проверим, что $810 = 81 \cdot 10$ — верное равенство. Покажем, что для чисел, больших 810, такое равенство недостижимо. Число 811: если зачеркнуть последнюю цифру, получим 81, а если зачеркнуть среднюю — получим 81. Тогда $81 \cdot 11 = 891 eq 811$. Рассмотрим числа от 812 до 899. Все они начинаются с 8. Если оба двузначных числа содержат первую цифру 8, то их произведение превышает $80 \cdot 80 = 6400 > 900$. Если ровно одно из них содержит 8, то одно число не меньше 80 (первые две цифры исходного числа), а второе не меньше 12 (две последние цифры). Произведение не меньше $80 \cdot 12 = 960 > 900$. Если ни одно из чисел не содержит первую цифру, то оба двузначных числа совпадают, и $A$ является квадратом целого числа. Проверим квадраты: $$28^2 = 784 < 811$$ $$29^2 = 841$$ При зачеркивании 8 из 841 получаем 41, но $41 \cdot 41 = 1681 eq 841$. $$30^2 = 900$$ Следовательно, наибольшее число $A$ до 900, удовлетворяющее условию, равно 810.

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике