Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\sqrt{x+3a}\cdot\ln\left( x-2a \right)=\left( x-1 \right)\cdot\ln\left( x-2a \right)$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: перенести всё в левую часть, вынести общий множитель логарифма и разобрать два случая — когда логарифм равен нулю и когда равна нулю скобка с корнем.

Перенесём всё в левую часть:
$$\sqrt{x+3a}\cdot\ln\left( x-2a ight)-\left( x-1 ight)\cdot\ln\left( x-2a ight)=0$$

Вынесем общий множитель:
$$\ln\left( x-2a ight)\left( \sqrt{x+3a}-\left( x-1 ight) ight)=0$$

Поскольку корень должен лежать на $[0;1]$, рассмотрим два случая:

$$\left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} \ln(x-2a)=0 \ x+3a\geq0 \ 0\leq x\leq1 \end{array} ight. \ \left\{ \begin{array}{c} \sqrt{x+3a}=x-1 \ x-2a>0 \ 0\leq x\leq1 \end{array} ight. \end{array} ight.$$

**Случай 1:** $\ln(x-2a)=0$

Из первого условия получаем $x-2a=1$, откуда $x=2a+1$.

Подставим в остальные ограничения:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=2a+1 \ 2a+1+3a\geq0 \ 0\leq 2a+1\leq1 \end{array} ight.$$

Упростим:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=2a+1 \ 5a+1\geq0 \ -\frac{1}{2}\leq a\leq0 \end{array} ight.$$

Из первого неравенства: $a\geq -\frac{1}{5}$.

Объединяя с остальными условиями, получаем $a\in\left[-\frac{1}{5};0ight]$.

При таких значениях $a$ корень $x=1+2a$ принадлежит отрезку $[0;1]$.

**Случай 2:** $\sqrt{x+3a}=x-1$

Для корректности возведём в квадрат (при условии $x-1\geq0$):
$$x+3a=\left( x-1 ight)^{2}$$

Ограничения:
$$\left\{ \begin{array}{c} x+3a=\left( x-1 ight)^{2} \ x\geq1 \ x>2a \ 0\leq x\leq1 \end{array} ight.$$

Из условий $x\geq1$ и $0\leq x\leq1$ следует $x=1$.

Подставим $x=1$ в уравнение:
$$1+3a=0$$
$$a=-\frac{1}{3}$$

Проверим условие $x>2a$: $1>2\cdot\left(-\frac{1}{3}ight)=-\frac{2}{3}$ — верно.

Из случая 1 при $a=-\frac{1}{3}$ получаем $x=1+2\cdot\left(-\frac{1}{3}ight)=\frac{1}{3}$.

Из случая 2 получаем $x=1$.

Корни не совпадают, поэтому при $a=-\frac{1}{3}$ уравнение имеет ровно один корень на $[0;1]$.

При $a\in\left[-\frac{1}{5};0ight)$ уравнение также имеет ровно один корень (из случая 1).

При $a=0$ из случая 1 получаем $x=1$, что совпадает с корнем из случая 2 при $a=0$: $1+0=0$ не выполняется, поэтому случай 2 при $a=0$ не даёт корня.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике