Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} 4x-y+a=0 \ 2\left| y ight|-{x}^{2}+4x=0 \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: выразить $y$ из первого уравнения, подставить во второе, разобрать случаи по знаку $y$ и найти значения параметра, при которых система имеет ровно два решения.

Из первого уравнения получаем:

$$y = 4x + a$$

Подставим во второе уравнение:

$$2\left| 4x + a ight| - x^2 + 4x = 0$$

$$\left| 4x + a ight| = \frac{x^2 - 4x}{2}$$

Рассмотрим два случая.

**Случай 1:** $4x + a \geq 0$

$$4x + a = \frac{x^2 - 4x}{2}$$

$$8x + 2a = x^2 - 4x$$

$$x^2 - 12x - 2a = 0$$

Для того чтобы это уравнение имело ровно одно решение (касание), дискриминант должен быть равен нулю:

$$D = 144 + 8a = 0$$

$$a = -18$$

**Случай 2:** $4x + a < 0$

$$-(4x + a) = \frac{x^2 - 4x}{2}$$

$$-8x - 2a = x^2 - 4x$$

$$x^2 + 4x + 2a = 0$$

Для касания:

$$D = 16 - 8a = 0$$

$$a = 2$$

Найдём точки пересечения кривой $\left| y ight| = \frac{x^2 - 4x}{2}$ с осью абсцисс:

$$\frac{x^2 - 4x}{2} = 0$$

$$x(x - 4) = 0$$

$$x = 0 	ext{ или } x = 4$$

При $x = 0$: $y = 0$, откуда $0 = 4 \cdot 0 + a$, то есть $a = 0$.

При $x = 4$: $y = 0$, откуда $0 = 4 \cdot 4 + a$, то есть $a = -16$.

Проверим каждое значение:

- При $a = 0$: прямая $y = 4x$ проходит через начало координат. Система имеет два решения.
- При $a = 2$: прямая касается ветви параболы при $y < 0$ в одной точке, пересекает ветвь при $y \geq 0$ в одной точке. Система имеет два решения.
- При $a = -16$: прямая $y = 4x - 16$ проходит через точку $(4, 0)$. Система имеет два решения.
- При $a = -18$: прямая касается ветви параболы при $y \geq 0$ в одной точке, пересекает ветвь при $y < 0$ в одной точке. Система имеет два решения.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике