Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} 2^{\ln y}=4^{|x|}, \ \log_2(x^4y^2+2a^2)=\log_2(1-ax^2y^2)+1 \end{array} ight.$$

имеет единственное решение.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать чётность функций в первом уравнении, чтобы свести задачу к случаю $x = 0$, а затем проверить, при каких значениях параметра других решений не возникает.

Обратим внимание на структуру системы. В первом уравнении присутствуют $|x|$ и $x^4$, а во втором — $x^4$ и $x^2$. Все эти выражения чётны по $x$, поэтому если пара $(x; y)$ удовлетворяет системе, то и пара $(-x; y)$ её удовлетворяет.

Единственное решение возможно только при $x = 0$.

**Подставим $x = 0$ в первое уравнение:**

$$2^{\ln y} = 4^0$$

$$2^{\ln y} = 1$$

$$2^{\ln y} = 2^0$$

$$\ln y = 0$$

$$y = 1$$

Итак, $(0; 1)$ — решение первого уравнения.

**Подставим $(0; 1)$ во второе уравнение:**

$$\log_2(0 + 2a^2) = \log_2(1 - 0) + 1$$

$$\log_2(2a^2) = \log_2 1 + 1$$

$$\log_2(2a^2) = 1$$

$$2a^2 = 2$$

$$a^2 = 1$$

$$a = \pm 1$$

**Проверим $a = 1$:**

Второе уравнение принимает вид:

$$\log_2(x^4y^2 + 2) = \log_2(1 - x^2y^2) + 1$$

$$\log_2(x^4y^2 + 2) = \log_2(2(1 - x^2y^2))$$

$$x^4y^2 + 2 = 2 - 2x^2y^2$$

$$x^4y^2 + 2x^2y^2 = 0$$

$$x^2y^2(x^2 + 2) = 0$$

Так как $x^2 + 2 > 0$, получаем $x^2y^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Из первого уравнения при $x = 0$ находим $y = 1$. Таким образом, $(0; 1)$ — единственное решение.

**Проверим $a = -1$:**

Второе уравнение принимает вид:

$$\log_2(x^4y^2 + 2) = \log_2(1 + x^2y^2) + 1$$

$$\log_2(x^4y^2 + 2) = \log_2(2(1 + x^2y^2))$$

$$x^4y^2 + 2 = 2 + 2x^2y^2$$

$$x^4y^2 - 2x^2y^2 = 0$$

$$x^2y^2(x^2 - 2) = 0$$

Отсюда $x = 0$ или $x^2 = 2$, то есть $x = 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$.

Для каждого значения $x$ из первого уравнения определяется $y = 1$. Получаем три решения: $(0; 1)$, $(\sqrt{2}; 1)$, $(-\sqrt{2}; 1)$.

Система имеет единственное решение только при $a = 1$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике