Question

Найдите значение выражения $\sqrt{27}\cdot\cos^{2}\frac{13\pi}{12}-\sqrt{27}\sin^{2}\frac{13\pi}{12}$.

Accepted Answer

4,5

Answer

Идея решения: применить формулу косинуса двойного угла к выражению в скобках, затем упростить полученный результат.

Воспользуемся тождеством для косинуса двойного угла:

$$\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = \cos 2\alpha$$

Вынесем общий множитель:

$$\sqrt{27}\left(\cos^{2}\frac{13\pi}{12} - \sin^{2}\frac{13\pi}{12}\right) = \sqrt{27}\cdot\cos\frac{13\pi}{6}$$

Упростим $\sqrt{27}$:

$$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$

Приведём аргумент косинуса к стандартному виду. Заметим, что $\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$, поэтому:

$$\cos\frac{13\pi}{6} = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6}$$

Подставим известное значение:

$$3\sqrt{3}\cdot\cos\frac{\pi}{6} = 3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Вычислим произведение:

$$3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике