Question

Найдите точку минимума функции $y = x^3 - 20x^2 + 100x + 23$.

Accepted Answer

10

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить характер экстремума методом интервалов.

Вычислим производную:

$$y' = 3x^2 - 40x + 100$$

Приравняем её к нулю:

$$3x^2 - 40x + 100 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 1600 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 400$$

Корни уравнения:

$$x_{1,2} = \frac{40 \pm 20}{6}$$

$$x_1 = 10, \quad x_2 = \frac{10}{3}$$

Исследуем знак производной на интервалах с помощью метода интервалов:

На промежутке $\left(-\infty; \frac{10}{3}\right)$ производная положительна — функция возрастает.

На промежутке $\left(\frac{10}{3}; 10\right)$ производная отрицательна — функция убывает.

На промежутке $(10; +\infty)$ производная положительна — функция возрастает.

Следовательно, $x = \frac{10}{3}$ — точка максимума, а $x = 10$ — точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике