Question

Решите неравенство:

$$1+\frac{5}{{\log}_{4}x-3}+\frac{6}{{\log}_{4}^{2}x-{\log}_{4}(64{x}^{6})+12}\geq0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить знаменатели через свойства логарифмов, ввести замену переменной и решить рациональное неравенство методом интервалов. Область определения: $x > 0$. Преобразуем второй знаменатель, используя свойства логарифмов: $${\log}_{4}(64{x}^{6}) = {\log}_{4}64 + {\log}_{4}{x}^{6} = 3 + 6{\log}_{4}x$$ Подставим в исходное неравенство: $$1+\frac{5}{{\log}_{4}x-3}+\frac{6}{{\log}_{4}^{2}x-3-6{\log}_{4}x+12}\geq0$$ $$1+\frac{5}{{\log}_{4}x-3}+\frac{6}{{\log}_{4}^{2}x-6{\log}_{4}x+9}\geq0$$ Заметим, что ${\log}_{4}^{2}x-6{\log}_{4}x+9 = ({\log}_{4}x-3)^{2}$. Введём замену $t = {\log}_{4}x$: $$1+\frac{5}{t-3}+\frac{6}{(t-3)^{2}}\geq0$$ Приведём к общему знаменателю $(t-3)^{2}$: $$\frac{(t-3)^{2}+5(t-3)+6}{(t-3)^{2}}\geq0$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^{2}-6t+9+5t-15+6}{(t-3)^{2}}\geq0$$ $$\frac{t^{2}-t}{(t-3)^{2}}\geq0$$ $$\frac{t(t-1)}{(t-3)^{2}}\geq0$$ Решим методом интервалов. Нули числителя: $t = 0$ и $t = 1$. Нуль знаменателя: $t = 3$ (кратность 2). На числовой оси отмечаем точки и определяем знаки: - При $t < 0$: знак $+$ - При $0 < t < 1$: знак $–$ - При $1 < t < 3$: знак $+$ - При $t > 3$: знак $+$ Решение неравенства: $t \in (-\infty, 0] \cup [1, 3) \cup (3, +\infty)$. Вернёмся к переменной $x$: $${\log}_{4}x \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1$$ $${\log}_{4}x \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq 4$$ $${\log}_{4}x < 3 \quad \Rightarrow \quad x < 64$$ $${\log}_{4}x > 3 \quad \Rightarrow \quad x > 64$$ Учитывая область определения $x > 0$, получаем: $$(0, 1] \cup [4, 64) \cup (64, +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике