Question

а) Решите уравнение: $2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin 2x=0$

б) Найдите корни, принадлежащие промежутку $\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулы приведения и двойного угла, затем разложить на множители.

**а) Решение уравнения**

Используем формулы приведения и двойного угла:

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-xight)=\cos^2 x$$

$$\sin 2x=2\sin x\cos x$$

Подставим в исходное уравнение:

$$2\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$$

Разделим на 2:

$$\cos^2 x+\sin x\cos x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos x(\cos x+\sin x)=0$$

Получаем два случая:

**Случай 1:** $\cos x=0$

$$x_1=\frac{\pi}{2}+\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $\cos x+\sin x=0$

$$\sin x=-\cos x$$

$$	an x=-1$$

$$x_2=\frac{3\pi}{4}+\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}$$

Проверим условие $\cos x
eq 0$ для второго семейства: при $x=\frac{3\pi}{4}+\pi k$ имеем $\cos x
eq 0$, поэтому оба семейства корректны.

**б) Отбор корней на промежутке $\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}ight]$**

**Для семейства** $x_1=\frac{\pi}{2}+\pi k$:

$$3\pi\leq\frac{\pi}{2}+\pi k\leq\frac{9\pi}{2}$$

Умножим на 2:

$$6\pi\leq\pi+2\pi k\leq 9\pi$$

Разделим на $\pi$:

$$6\leq 1+2k\leq 9$$

$$5\leq 2k\leq 8$$

$$2{,}5\leq k\leq 4$$

Целые значения: $k=3$ и $k=4$.

При $k=3$: $x=\frac{\pi}{2}+3\pi=\frac{7\pi}{2}$

При $k=4$: $x=\frac{\pi}{2}+4\pi=\frac{9\pi}{2}$

**Для семейства** $x_2=\frac{3\pi}{4}+\pi k$:

$$3\pi\leq\frac{3\pi}{4}+\pi k\leq\frac{9\pi}{2}$$

Умножим на 4:

$$12\pi\leq 3\pi+4\pi k\leq 18\pi$$

Разделим на $\pi$:

$$12\leq 3+4k\leq 18$$

$$9\leq 4k\leq 15$$

$$2{,}25\leq k\leq 3{,}75$$

Целое значение: $k=3$.

При $k=3$: $x=\frac{3\pi}{4}+3\pi=\frac{15\pi}{4}$

Задание №13УравненияЕГЭ по математике