Question

а) Решите уравнение:

$$2\sin\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right)-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1$$

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \frac{5\pi}{2};4\pi \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: развернуть левую часть через формулу синуса суммы, привести к квадратному уравнению относительно $\cos x$ и найти все решения.

**а) Решение уравнения**

Раскроем синус суммы в левой части:

$$2\left(\sin 2x \cos\frac{\pi}{6} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{6}\right) - \cos x = \sqrt{3}\sin 2x - 1$$

$$2\left(\sin 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos 2x \cdot \frac{1}{2}\right) - \cos x = \sqrt{3}\sin 2x - 1$$

$$\sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x - \cos x = \sqrt{3}\sin 2x - 1$$

Упростим, сокращая $\sqrt{3}\sin 2x$:

$$\cos 2x - \cos x = -1$$

Подставим $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$2\cos^2 x - 1 - \cos x = -1$$

$$2\cos^2 x - \cos x = 0$$

$$\cos x(2\cos x - 1) = 0$$

Отсюда получаем два случая:

**Случай 1:** $\cos x = 0$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $\cos x = \frac{1}{2}$

$$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

или подробнее:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[ \frac{5\pi}{2};4\pi \right]$**

Используя числовую окружность, определим, какие значения попадают в заданный промежуток.

Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$: при $k = 2$ получаем $x = \frac{5\pi}{2}$; при $k = 3$ получаем $x = \frac{7\pi}{2}$.

Для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = 2$ получаем $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$ (не входит в отрезок).

Для $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$: при $m = 2$ получаем $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$.

Проверим принадлежность отрезку $\left[ \frac{5\pi}{2};4\pi \right]$:
- $\frac{5\pi}{2} = 2{,}5\pi$ ✓
- $\frac{7\pi}{2} = 3{,}5\pi$ ✓
- $\frac{11\pi}{3} \approx 3{,}67\pi$ ✓

Задание №13УравненияЕГЭ по математике