Question

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите сумму кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 34 150 рублей больше суммы, взятой в кредит.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: составить уравнение для остатка долга после трёх платежей, используя условие равенства платежей и связь между суммой выплат и суммой кредита.

Обозначим через $S$ сумму кредита (в рублях), через $x$ — размер каждого платежа, через $k = 1{,}1$ — коэффициент увеличения долга.

Проследим изменение долга по годам:

**После 1-го года:**
- Долг в январе: $Sk$
- Выплата: $x$
- Остаток: $Sk - x$

**После 2-го года:**
- Долг в январе: $(Sk - x)k$
- Выплата: $x$
- Остаток: $(Sk - x)k - x$

**После 3-го года:**
- Долг в январе: $((Sk - x)k - x)k$
- Выплата: $x$
- Остаток: $((Sk - x)k - x)k - x = 0$

Из условия полного погашения:

$$((Sk - x)k - x)k - x = 0$$

Раскроем скобки:

$$Sk^3 - xk^2 - xk - x = 0$$

$$Sk^3 = x(k^2 + k + 1)$$

$$x = \frac{Sk^3}{k^2 + k + 1}$$

По условию общая сумма выплат на 34 150 рублей больше суммы кредита:

$$3x = S + 34150$$

Подставим выражение для $x$:

$$3 \cdot \frac{Sk^3}{k^2 + k + 1} = S + 34150$$

$$\frac{3Sk^3}{k^2 + k + 1} = S + 34150$$

Подставим $k = 1{,}1 = \frac{11}{10}$:

$$k^2 + k + 1 = \frac{121}{100} + \frac{11}{10} + 1 = \frac{121 + 110 + 100}{100} = \frac{331}{100}$$

$$k^3 = \frac{1331}{1000}$$

$$\frac{3S \cdot \frac{1331}{1000}}{\frac{331}{100}} = S + 34150$$

$$\frac{3S \cdot 1331 \cdot 100}{1000 \cdot 331} = S + 34150$$

$$\frac{3S \cdot 1331}{10 \cdot 331} = S + 34150$$

$$\frac{3993S}{3310} = S + 34150$$

$$3993S = 3310S + 113036500$$

$$683S = 113036500$$

$$S = 165500$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике