Question

Найдите точку минимума функции $y = (0{,}5 - x) \cos x + \sin x$, принадлежащую промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.

Accepted Answer

0,5

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить, какая из них является минимумом на заданном интервале. Вычислим производную функции: $$y' = -\cos x - (0{,}5 - x) \sin x + \cos x$$ Упростим: $$y' = -(0{,}5 - x) \sin x = (x - 0{,}5) \sin x$$ Приравняем производную к нулю: $$(x - 0{,}5) \sin x = 0$$ Отсюда либо $\sin x = 0$, либо $x = 0{,}5$. Из условия $\sin x = 0$ получаем $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Такие значения не принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$. Значение $x = 0{,}5$ лежит в $(0; \frac{\pi}{2})$, так как $0 < 0{,}5 < \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$. Проверим знак производной по сторонам от точки $x = 0{,}5$: - при $x \in (0; 0{,}5)$: $\sin x > 0$ и $x - 0{,}5 < 0$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает); - при $x \in (0{,}5; \frac{\pi}{2})$: $\sin x > 0$ и $x - 0{,}5 > 0$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает). Производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x = 0{,}5$ — точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике