Question

На рисунке изображен график функции $f(x) = b + \log_a x$. Найдите $f(128)$.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/Z6RGhTJh11ZKjTKrlcGDRZM2xoimLa1bFPk0uCez.jpg)

Accepted Answer

-5

Answer

Идея решения: определить параметры $a$ и $b$, используя координаты двух точек на графике, а затем вычислить значение функции в требуемой точке.

Из графика видно, что функция проходит через точки $(4; 0)$ и $(2; 1)$.

Подставим эти точки в уравнение $f(x) = b + \log_a x$:

$$\begin{cases}
0 = b + \log_a 4 \
1 = b + \log_a 2
\end{cases}$$

Преобразуем первое уравнение, заметив, что $\log_a 4 = 2\log_a 2$:

$$\begin{cases}
0 = b + 2\log_a 2 \quad (1) \
1 = b + \log_a 2 \quad (2)
\end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$1 - 0 = (b + \log_a 2) - (b + 2\log_a 2)$$

$$1 = -\log_a 2$$

$$\log_a 2 = -1$$

Следовательно, $a^{-1} = 2$, откуда $a = \frac{1}{2}$.

Из уравнения $(1)$ найдём $b$:

$$0 = b + 2 \cdot (-1)$$

$$b = 2$$

Таким образом, $f(x) = 2 + \log_{\frac{1}{2}} x$.

Вычислим $f(128)$:

$$f(128) = 2 + \log_{\frac{1}{2}} 128$$

Заметим, что $128 = 2^7$, поэтому:

$$\log_{\frac{1}{2}} 128 = \log_{\frac{1}{2}} 2^7 = 7 \log_{\frac{1}{2}} 2 = 7 \cdot (-1) = -7$$

$$f(128) = 2 + (-7) = -5$$

Задание №11Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике