Question

Расстояние между городами A и B составляет 420 км. Из города A в город B отправился автомобиль. Через час вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью 80 км/ч, который догнал автомобиль в городе C и развернулся обратно. В момент, когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль достиг города B. Определите расстояние от A до C в километрах.

Accepted Answer

240

Answer

Идея решения: обозначить расстояние AC как $x$ и составить систему уравнений, приравняв общее время в пути для обоих транспортных средств.

Обозначим скорость автомобиля через $u$ км/ч, а расстояние от A до C через $x$ км.

Мотоциклист проходит расстояние $2x$ км (туда и обратно) со скоростью 80 км/ч, затратив время:

$$t_{	ext{мот}} = \frac{2x}{80}$$

Автомобиль проходит 420 км со скоростью $u$ км/ч, затратив время:

$$t_{	ext{авт}} = \frac{420}{u}$$

Поскольку автомобиль выехал на 1 час раньше, его общее время в пути на 1 час больше:

$$\frac{420}{u} = \frac{2x}{80} + 1$$

Мотоциклист и автомобиль встречаются в городе C. Мотоциклист доезжает до C за время:

$$\frac{x}{80}$$

Автомобиль доезжает до C за время:

$$\frac{x}{u}$$

Мотоциклист выехал на 1 час позже, поэтому:

$$\frac{x}{80} + 1 = \frac{x}{u}$$

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases}
\frac{420}{u} = \frac{2x}{80} + 1 \
\frac{x}{80} + 1 = \frac{x}{u}
\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $u$:

$$\frac{x}{80} + 1 = \frac{x}{u}$$

$$u = \frac{x}{\frac{x}{80} + 1} = \frac{80x}{x + 80}$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{420(x + 80)}{80x} = \frac{2x}{80} + 1$$

$$\frac{420(x + 80)}{80x} = \frac{2x + 80}{80}$$

$$\frac{420(x + 80)}{x} = 2x + 80$$

$$420(x + 80) = x(2x + 80)$$

$$420x + 33600 = 2x^2 + 80x$$

$$2x^2 - 340x - 33600 = 0$$

$$x^2 - 170x - 16800 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{170 \pm \sqrt{28900 + 67200}}{2} = \frac{170 \pm \sqrt{96100}}{2} = \frac{170 \pm 310}{2}$$

$$x = 240 \quad 	ext{или} \quad x = -70$$

Так как расстояние не может быть отрицательным, $x = 240$ км.

Задание №10Текстовые и прикладные задачиЕГЭ по математике