Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} (xy - 2x + 12) \cdot \sqrt{y - 2x + 12} = 0 \ y = ax - 10 \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить первое уравнение на два случая (произведение равно нулю), учесть область определения корня, найти пересечения линии $y = ax - 10$ с каждой кривой и определить значения $a$, дающие ровно два решения.

Раскроем произведение в первом уравнении:

$$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} xy - 2x + 12 = 0 \ y - 2x + 12 = 0 \end{array} ight. \ y = ax - 10 \ y - 2x + 12 \geq 0 \end{array} ight.$$

Переформулируем условия:

$$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} xy = 2x - 12 \ y = 2x - 12 \end{array} ight. \ y = ax - 10 \ y \geq 2x - 12 \end{array} ight.$$

Из первого условия при $x 
eq 0$ получаем $y = 2 - \frac{12}{x}$. Второе условие даёт прямую $y = 2x - 12$. Ограничение $y \geq 2x - 12$ означает, что решения лежат выше или на этой прямой.

**Случай 1:** Пересечение прямой $y = ax - 10$ с гиперболой $y = 2 - \frac{12}{x}$.

Подставим:

$$ax - 10 = 2 - \frac{12}{x}$$

Умножим на $x$ (при $x 
eq 0$):

$$ax^2 - 10x = 2x - 12$$

$$ax^2 - 12x + 12 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 144 - 48a$$

Для ровно одного решения (касание):

$$D = 0 \Rightarrow a = 3$$

**Случай 2:** Пересечение прямой $y = ax - 10$ с прямой $y = 2x - 12$.

Если прямые параллельны, то $a = 2$. При $a = 0$ прямая $y = ax - 10$ становится горизонтальной ($y = -10$), что не совпадает с $y = 2x - 12$.

**Случай 3:** Точка пересечения прямых $y = 2x - 12$ и $y = 2 - \frac{12}{x}$.

Приравняем:

$$2x - 12 = 2 - \frac{12}{x}$$

$$2x - 14 = -\frac{12}{x}$$

$$2x^2 - 14x + 12 = 0$$

$$x^2 - 7x + 6 = 0$$

$$(x - 1)(x - 6) = 0$$

Получаем $x = 1$ (где $y = -10$) и $x = 6$ (где $y = 0$).

Если прямая $y = ax - 10$ проходит через $(6, 0)$:

$$0 = 6a - 10 \Rightarrow a = \frac{5}{3}$$

**Случай 4:** Прямая $y = ax - 10$ параллельна $y = 2x - 12$:

$$a = 2$$

Анализируя геометрию (см. график): система имеет ровно два решения при $a = 0$, $a = \frac{5}{3}$, $a = 2$ и $a = 3$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике