Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$\sqrt{2x-1}\cdot\ln\left( 4x-a \right)=\sqrt{2x-1}\cdot\ln\left( 5x+a \right)$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить произведение на множители, найти два семейства решений, определить их область допустимости и выбрать значения параметра, при которых ровно одно решение попадает в $[0;1]$. Перенесём все в левую часть и вынесем общий множитель: $$\sqrt{2x-1}\ln\left( 4x-a ight)-\sqrt{2x-1}\ln\left( 5x+a ight)=0$$ $$\sqrt{2x-1}\left( \ln\left( 4x-a ight)-\ln\left( 5x+a ight) ight)=0$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Учтём ограничения на область определения: $$\left[ \begin{array}{c} \sqrt{2x-1}=0 \ \ln\left( 4x-a ight)-\ln\left( 5x+a ight)=0 \end{array} ight., \quad 2x-1\geq0, \quad 4x-a>0, \quad 5x+a>0$$ Из первого уравнения получаем $x=\frac{1}{2}$, из второго — $4x-a=5x+a$, откуда $x=-2a$. **Случай 1:** $x=\frac{1}{2}$. Проверим условия: - $2 \cdot \frac{1}{2}-1 \geq 0$ ⟹ $0 \geq 0$ ✓ - $4 \cdot \frac{1}{2}-a > 0$ ⟹ $a < 2$ - $5 \cdot \frac{1}{2}+a > 0$ ⟹ $a > -\frac{5}{2}$ Так как $\frac{1}{2} \in [0;1]$, корень $x=\frac{1}{2}$ существует при $a \in \left(-\frac{5}{2};2 ight)$. **Случай 2:** $x=-2a$. Проверим условия: - $2(-2a)-1 \geq 0$ ⟹ $-4a \geq 1$ ⟹ $a \leq -\frac{1}{4}$ - $4(-2a)-a > 0$ ⟹ $-9a > 0$ ⟹ $a < 0$ - $5(-2a)+a > 0$ ⟹ $-9a > 0$ ⟹ $a < 0$ Для попадания в отрезок $[0;1]$: $$0 \leq -2a \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{2} \leq a \leq 0$$ Пересекая с условиями $a \leq -\frac{1}{4}$ и $a < 0$, получаем $a \in \left[-\frac{1}{2};-\frac{1}{4} ight]$. Корни совпадают при $-2a=\frac{1}{2}$, откуда $a=-\frac{1}{4}$. Анализируя диаграммы областей: - При $a \in \left(-\frac{5}{2};-\frac{1}{2} ight)$: 0 корней - При $a = -\frac{1}{2}$: 2 корня - При $a \in \left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{4} ight)$: 1 корень - При $a = -\frac{1}{4}$: 1 корень (совпадение) - При $a \in \left(-\frac{1}{4};2 ight)$: 0 корней - При $a = 2$: 0 корней Ровно один корень на $[0;1]$ при $a \in \left[-\frac{1}{2};-\frac{1}{4} ight]$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике