Question

а) Решите уравнение $2\log_2^2(2\sin x) - 7\log_2(2\sin x) + 3 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить логарифмическую замену для сведения уравнения к квадратному, затем отобрать корни по ограничениям.

**а) Решение уравнения**

Сначала определим область допустимых значений: $2\sin x > 0$, откуда $2\pi n < x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Введём замену $t = \log_2(2\sin x)$. Исходное уравнение принимает вид:

$$2t^2 - 7t + 3 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 49 - 24 = 25$$

Корни квадратного уравнения:

$$t_1 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{7 + 5}{4} = 3$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$\log_2(2\sin x) = 3 \quad 	ext{или} \quad \log_2(2\sin x) = \frac{1}{2}$$

Из первого уравнения: $2\sin x = 8$, то есть $\sin x = 4$. Это невозможно, так как $\sin x \leq 1$.

Из второго уравнения: $2\sin x = \sqrt{2}$, откуда $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение:

$$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке**

На отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; 2\piight]$ из семейства $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$ подходит только:

$$x = \frac{3\pi}{4}$$

(при $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$).

Задание №13УравненияЕГЭ по математике