Question

Решите неравенство:

$$\log_x 2x - 1 \cdot \log_x 2x^2 \log_2 x \cdot x \cdot \log_2 x - 2x < 40$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: найти область допустимых значений, упростить неравенство через логарифмические свойства, выполнить замену переменной и решить полученное рациональное неравенство. **Область допустимых значений:** $$\begin{cases} x > 0 \ x eq 1 \ 2x eq 1 \ 2x^{-2} eq 1 \end{cases}$$ Из этих условий получаем: $$x \in \left(0; \frac{1}{2} ight) \cup \left(\frac{1}{2}; 1 ight) \cup (1; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$$ **Упрощение неравенства:** Применим свойства логарифмов: $$(\log_x 2 + \log_x x - 1) \cdot (\log_x 2 + \log_x x^2) \log_2 x \cdot x \cdot \log_2 x - 2x < 40$$ $$(\log_x 2 - 1) \cdot (\log_x 2 + 2) \log_2 x \cdot x \cdot \log_2 x - 2x < 40$$ Используя формулу перехода к другому основанию $\log_2 x = \frac{1}{\log_x 2}$: $$(\log_x 2 - 1) \cdot (\log_x 2 + 2) \cdot \log_x 2 \cdot x \cdot \log_x 2 - 2x < 40$$ $$(\log_x 2 - 1) \cdot (\log_x 2 + 2) \cdot (\log_x 2 + 1) \cdot (\log_x 2 - 2) < 40$$ **Замена переменной:** Пусть $a = \log_x 2$. Тогда: $$(a - 1)(a + 2)(a + 1)(a - 2) < 40$$ Перегруппируем множители: $$(a^2 - 1)(a^2 - 4) < 40$$ $$a^4 - 5a^2 + 4 - 40 < 0$$ $$a^4 - 5a^2 - 36 < 0$$ Разложим левую часть: $$a^2(a^2 + 4) - 9(a^2 + 4) < 0$$ $$(a^2 + 4)(a^2 - 9) < 0$$ Так как $a^2 + 4 > 0$ для всех $a$, получаем: $$a^2 - 9 < 0$$ $$a \in (-3; 3)$$ **Обратная замена:** Условие $-3 < \log_x 2 < 3$ эквивалентно системе: $$\begin{cases} \log_x 2 > -3 \ \log_x 2 < 3 \end{cases}$$ При $x > 1$: $x^{-3} < 2 < x^3$, откуда $x \in (\sqrt[3]{2}; +\infty)$. При $0 < x < 1$: $x^3 < 2 < x^{-3}$, откуда $x \in \left(0; \frac{1}{\sqrt[3]{2}} ight)$. Пересекаем с областью допустимых значений: $$x \in \left(0; \frac{1}{2} ight) \cup \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{\sqrt[3]{2}} ight) \cup (\sqrt[3]{2}; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике