Question

Дана четырёхугольная пирамида $SABCD$, в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной 10. Известно, что $SA = SC = 10\sqrt{2}$, $SB = 20$, $AC = 10$.

а) Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $SB$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: установим перпендикулярность $SD$ к основанию через проверку перпендикулярности к двум пересекающимся прямым в плоскости основания, а затем используем проекцию для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.

**а) Доказательство перпендикулярности $SD$ к плоскости основания**

Обозначим точку пересечения диагоналей ромба как $O$.

Поскольку $ABCD$ — ромб, его диагонали пересекаются в точке $O$ и делятся пополам:

$$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

В треугольнике $AOB$ диагонали ромба перпендикулярны, поэтому $AC \perp BD$. По теореме Пифагора:

$$OB^2 = AB^2 - AO^2 = 10^2 - 5^2 = 75$$

$$OB = 5\sqrt{3}, \quad BD = 2 \cdot OB = 10\sqrt{3}$$

Треугольник $ASC$ равнобедренный ($SA = SC = 10\sqrt{2}$), поэтому $SO$ — высота, опущенная на основание $AC$. По теореме Пифагора:

$$SO^2 = SC^2 - OC^2 = (10\sqrt{2})^2 - 5^2 = 200 - 25 = 175$$

$$SO = 5\sqrt{7}$$

В треугольнике $SOB$ применим теорему косинусов:

$$SB^2 = SO^2 + OB^2 - 2 \cdot SO \cdot OB \cdot \cos \angle SOB$$

$$\cos \angle SOB = \frac{SO^2 + OB^2 - SB^2}{2 \cdot SO \cdot OB} = \frac{175 + 75 - 400}{2 \cdot 5\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{-150}{50\sqrt{21}} = -\frac{3}{\sqrt{21}}$$

Углы $\angle SOB$ и $\angle SOD$ — смежные, поэтому:

$$\cos \angle SOD = -\cos \angle SOB = \frac{3}{\sqrt{21}}$$

В треугольнике $SOD$ по теореме косинусов:

$$SD^2 = SO^2 + OD^2 - 2 \cdot SO \cdot OD \cdot \cos \angle SOD$$

$$SD^2 = 175 + 75 - 2 \cdot 5\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{21}} = 250 - 150 = 100$$

$$SD = 10$$

Проверим перпендикулярность в треугольнике $SDB$:

$$SD^2 + BD^2 = 10^2 + (10\sqrt{3})^2 = 100 + 300 = 400 = 20^2 = SB^2$$

По обратной теореме Пифагора $\angle SDB = 90°$, то есть $SD \perp BD$.

Проверим перпендикулярность в треугольнике $SAD$:

$$SD^2 + AD^2 = 10^2 + 10^2 = 200 = (10\sqrt{2})^2 = SA^2$$

По обратной теореме Пифагора $\angle SDA = 90°$, то есть $SD \perp AD$.

Поскольку $SD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $AD$ плоскости основания, то $SD \perp (ABCD)$.

**б) Расстояние между прямыми $AC$ и $SB$**

Диагонали ромба перпендикулярны: $AC \perp BD$. Так как $SD \perp (ABCD)$ и $AC$ лежит в плоскости основания, то $AC \perp SD$. Следовательно, $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $SD$ плоскости $SBD$, поэтому $AC \perp (SBD)$.

При проекции на плоскость $SBD$ прямая $AC$ проецируется в точку $O$ (пересечение $AC$ и $BD$), а прямая $SB$ проецируется в себя. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки $O$ до прямой $SB$:

$$\rho(AC, SB) = OH$$

где $H$ — основание перпендикуляра из $O$ на $SB$.

Треугольники $SBD$ и $BOH$ подобны по двум углам: $\angle HBO$ — общий, $\angle SDB = \angle BHO = 90°$. Из подобия:

$$\frac{OH}{SD} = \frac{BO}{SB}$$

$$OH = \frac{SD \cdot BO}{SB} = \frac{10 \cdot 5\sqrt{3}}{20} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/5E9jFDvBjh4K8FbHwSezK1NTdLELQXoj7lrJ5pL2.jpg)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/lgin27uLabxiQbciCTqWQSuzSa0S2Dls26JaCjmS.jpg)

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике