Question

Найдите наименьшее значение функции $y = 9x - 9\ln(x+11) + 7$ на отрезке $[-10{,}5; 0]$.

Accepted Answer

-83

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, проверить их принадлежность отрезку и вычислить значения функции в критической точке и на концах.

Вычислим производную:

$$y' = 9 - \frac{9}{x+11}$$

Приравняем производную к нулю:

$$9 - \frac{9}{x+11} = 0$$

$$9(x+11) - 9 = 0$$

$$9x + 99 - 9 = 0$$

$$9x = -90$$

$$x = -10$$

Точка $x = -10$ принадлежит отрезку $[-10{,}5; 0]$. Используя метод интервалов, проверим знак производной:
- при $x \in [-10{,}5; -10)$: $y' < 0$ (функция убывает);
- при $x \in (-10; 0]$: $y' > 0$ (функция возрастает).

Следовательно, $x = -10$ — точка минимума на данном отрезке.

Вычислим значение функции в этой точке:

$$y(-10) = 9 \cdot (-10) - 9\ln(-10+11) + 7 = -90 - 9\ln(1) + 7 = -90 - 0 + 7 = -83$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике