Question

Найдите точку минимума функции $y = x^2 - 28x + 96\ln x + 31$.

Accepted Answer

8

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, затем определить точку минимума методом интервалов.

Вычислим производную:

$$y' = 2x - 28 + \frac{96}{x}$$

Приравняем её к нулю:

$$2x - 28 + \frac{96}{x} = 0$$

Умножим на $x$ (при $x > 0$):

$$2x^2 - 28x + 96 = 0$$

$$x^2 - 14x + 48 = 0$$

По теореме Виета или через дискриминант получаем:

$$x = 6 	ext{ или } x = 8$$

Исследуем знак производной на интервалах $(0; 6)$, $(6; 8)$ и $(8; +\infty)$.

При $x = 1$: $y' = 2 - 28 + 96 = 70 > 0$ (функция возрастает на $(0; 6)$).

При $x = 7$: $y' = 14 - 28 + \frac{96}{7} \approx -14 + 13{,}7 < 0$ (функция убывает на $(6; 8)$).

При $x = 10$: $y' = 20 - 28 + 9{,}6 = 1{,}6 > 0$ (функция возрастает на $(8; +\infty)$).

Таким образом, $x = 6$ — точка локального максимума, а $x = 8$ — точка локального минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике