Question

Вычислите значение выражения $4\sqrt{2}-8\sqrt{2}\sin^{2}\left(\frac{7\pi}{8}\right)$.

Accepted Answer

4

Answer

Идея решения: применить формулу понижения степени для синуса и вычислить косинус требуемого угла.

Используем формулу $\sin^{2}\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}$:

$$4\sqrt{2}-8\sqrt{2}\sin^{2}\left(\frac{7\pi}{8}\right) = 4\sqrt{2}-8\sqrt{2} \cdot \frac{1-\cos\frac{7\pi}{4}}{2}$$

Найдём $\cos\frac{7\pi}{4}$. Угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в четвёртой четверти, где косинус положителен:

$$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставим:

$$4\sqrt{2}-8\sqrt{2} \cdot \frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = 4\sqrt{2}-4\sqrt{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

$$= 4\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4$$

$$= 4$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике