Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\sqrt{x+a}\cdot\ln\left( x-3a \right)=\left( x-1 \right)\ln\left( x-3a \right)$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить левую и правую части на множители, затем рассмотреть два случая (логарифм равен нулю или подкоренное выражение равно линейному множителю) с учётом ограничений на отрезке.

Перенесём все в левую часть и вынесем общий множитель:
$$\ln\left( x-3a ight)\left( \sqrt{x+a}-\left( x-1 ight) ight)=0$$

Уравнение распадается на два случая. Учитывая, что корень должен лежать на $[0;1]$, получаем:

$$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \ln(x-3a)=0 \ x+a\geq0 \ 0\leq x\leq1 \end{array} ight. \ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x+a}=x-1 \ x-3a>0 \ 0\leq x\leq1 \end{array} ight. \end{array} ight.$$

**Случай 1:** $\ln(x-3a)=0$

Из первого условия: $x-3a=1$, откуда $x=3a+1$.

Подставим в остальные ограничения:
$$\left\{ \begin{array}{l} 3a+1+a\geq0 \ 0\leq 3a+1\leq1 \end{array} ight. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a\geq -\frac{1}{4} \ -\frac{1}{3}\leq a\leq 0 \end{array} ight.$$

Пересечение этих условий даёт $a \in \left[-\frac{1}{4};0ight]$.

При таких значениях $a$ корень $x=3a+1$ принадлежит отрезку $[0;1]$.

**Случай 2:** $\sqrt{x+a}=x-1$

Для корректности возведения в квадрат требуется $x-1\geq 0$, то есть $x\geq 1$.

Совместно с условием $0\leq x\leq 1$ получаем $x=1$.

Подставим $x=1$ в уравнение $\sqrt{x+a}=(x-1)^2$:
$$\sqrt{1+a}=0 \quad \Rightarrow \quad a=-1$$

Проверим условие $x>3a$: $1>3\cdot(-1)=−3$ — выполнено.

**Анализ совпадения корней:**

Корни из двух случаев совпадают, если $3a+1=1$, откуда $a=0$.

При $a=0$ оба случая дают один и тот же корень $x=1$, поэтому уравнение имеет ровно один корень.

При $a \in \left[-\frac{1}{4};0ight)$ корень из случая 1 лежит в $[0;1)$, а случай 2 не даёт корней на отрезке (так как $a 
eq -1$).

При $a=-1$ корень из случая 2 равен $x=1$, а корень из случая 1 равен $x=3\cdot(-1)+1=-2 
otin [0;1]$.

Таким образом, ровно один корень на $[0;1]$ достигается при $a \in \left[-\frac{1}{4};0ight]$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике