Question

а) Решите уравнение $\cos 2x + 0{,}5 = \cos^2 x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу двойного угла для косинуса, привести уравнение к квадратному относительно $\cos x$, затем отобрать корни на заданном отрезке.

**а) Решение уравнения**

Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$2\cos^2 x - 1 + 0{,}5 = \cos^2 x$$

$$\cos^2 x - 0{,}5 = 0$$

$$\cos^2 x = \frac{1}{2}$$

Отсюда получаем два случая:

$$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

или

$$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$**

Используя тригонометрическую окружность, определяем, какие значения из семейств решений попадают в требуемый интервал:

$$x_1 = -\frac{7\pi}{4}$$

$$x_2 = -\frac{5\pi}{4}$$

$$x_3 = -\frac{3\pi}{4}$$

Задание №13УравненияЕГЭ по математике