Question

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB = 1$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.

б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{3}$?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать симметрию правильной пирамиды и свойства перпендикулярности для определения плоскости сечения, затем применить геометрические соотношения в прямоугольных треугольниках.

**а) Доказательство**

В треугольнике $SBC$ проведём высоту $BH \perp SC$. Поскольку пирамида правильная, треугольники $SAD$ и $SCB$ равны, поэтому их высоты, опущенные на $SC$, совпадают в одной точке $H$. Следовательно, $DH \perp SC$ и $BH \perp SC$.

Таким образом, прямые $BH$ и $DH$ перпендикулярны $SC$, откуда плоскость $(BHD) \perp SC$.

Точка $O$ лежит в плоскости основания $ABCD$ как пересечение диагоналей. Диагонали квадрата пересекаются в центре, поэтому $O$ принадлежит отрезку $BD$. Следовательно, $O$ лежит в плоскости $(BHD)$, то есть в плоскости $\alpha$. ✓

**б) Нахождение отношения**

Основание $ABCD$ — квадрат со стороной $AB = 1$. По теореме Пифагора в треугольнике $ABC$:

$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Диагонали квадрата делятся пополам в точке $O$:

$$AO = OC = OD = OB = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Диагональ $BD = \sqrt{2}$. Из условия площадь сечения $S_{DHB} = \frac{\sqrt{2}}{3}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot \sqrt{2}$$

$$OH = \frac{2}{3}$$

Поскольку $OH \perp SC$, в прямоугольном треугольнике $OHC$ по теореме Пифагора:

$$HC^2 = OC^2 - OH^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{1}{18}$$

$$HC = \frac{\sqrt{2}}{6}$$

Применим свойство прямоугольного треугольника: $OC^2 = SC \cdot HC$:

$$\frac{1}{2} = SC \cdot \frac{\sqrt{2}}{6}$$

$$SC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Найдём $SH$:

$$SH = SC - HC = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{9\sqrt{2} - \sqrt{2}}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$$

Отношение:

$$\frac{SH}{HC} = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{6}} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{6}{\sqrt{2}} = 8$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/UVX27si0rb3tzjs3ncxwU48wayehdFqAWFjQuBDT.jpg)

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике