Question

Решите неравенство:

$$\frac{8^{x+1}-40}{2\cdot 64^{x}-32}\leq 1$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: переписать основания через степени двойки, ввести замену $t = 8^x$ и решить рациональное неравенство методом интервалов. Преобразуем числитель и знаменатель, выразив их через $8^x$: $$\frac{8^x \cdot 8 - 40}{2 \cdot (8^x)^2 - 32} \leq 1$$ Введём замену $t = 8^x$, где $t > 0$: $$\frac{8t - 40}{2t^2 - 32} \leq 1$$ Вынесем общие множители: $$\frac{2(4t - 20)}{2(t^2 - 16)} \leq 1$$ $$\frac{4t - 20}{t^2 - 16} \leq 1$$ Перенесём единицу в левую часть: $$\frac{4t - 20 - (t^2 - 16)}{t^2 - 16} \leq 0$$ $$\frac{4t - 20 - t^2 + 16}{t^2 - 16} \leq 0$$ $$\frac{-t^2 + 4t - 4}{t^2 - 16} \leq 0$$ Заметим, что числитель — это полный квадрат: $$\frac{-(t - 2)^2}{t^2 - 16} \leq 0$$ Разложим знаменатель: $$\frac{-(t - 2)^2}{(t - 4)(t + 4)} \leq 0$$ Применим метод интервалов. Критические точки: $t = -4$, $t = 2$, $t = 4$. Анализируя знаки на интервалах (см. диаграмму): - При $t < -4$: знак $-$ - При $-4 < t < 2$: знак $+$ - При $t = 2$: значение $0$ - При $2 < t < 4$: знак $+$ - При $t > 4$: знак $-$ Неравенство выполняется при $t < -4$ или $t > 4$ или $t = 2$. Поскольку $t = 8^x > 0$, условие $t < -4$ невозможно. Остаются два случая: **Случай 1:** $t = 2$ $$8^x = 2$$ $$2^{3x} = 2^1$$ $$3x = 1$$ $$x = \frac{1}{3}$$ **Случай 2:** $t > 4$ $$8^x > 4$$ $$2^{3x} > 2^2$$ $$3x > 2$$ $$x > \frac{2}{3}$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике