Question

а) Решите уравнение $\log_{2}(x^{2} - 2x) = 3$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_{2}0{,}1; \log_{2}13]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить определение логарифма, найти корни квадратного уравнения и проверить их принадлежность области допустимых значений, затем отобрать те, что лежат в заданном интервале. **а) Решение уравнения** Сначала установим ограничение на подлогарифмическое выражение: $$x^{2} - 2x > 0$$ $$x(x - 2) > 0$$ $$x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$$ По определению логарифма преобразуем исходное уравнение: $$\log_{2}(x^{2} - 2x) = 3$$ $$x^{2} - 2x = 2^{3}$$ $$x^{2} - 2x = 8$$ $$x^{2} - 2x - 8 = 0$$ По теореме Виета: $x_{1} + x_{2} = 2$ и $x_{1} \cdot x_{2} = -8$. Отсюда получаем $x_{1} = 4$ и $x_{2} = -2$. Проверим принадлежность области допустимых значений: - $x = 4 \in (2; +\infty)$ ✓ - $x = -2 \in (-\infty; 0)$ ✓ Оба корня удовлетворяют ограничению. **б) Отбор корней на отрезке** Преобразуем корни в логарифмическую форму: $$x_{1} = -2 = \log_{2}2^{-2} = \log_{2}\frac{1}{4}$$ $$x_{2} = 4 = \log_{2}2^{4} = \log_{2}16$$ Определим границы отрезка: - $\log_{2}0{,}1 \approx -3{,}32$ (так как $0{,}1 < \frac{1}{4}$) - $\log_{2}13 \approx 3{,}7$ (так как $13 < 16$) Проверим принадлежность: - $\log_{2}\frac{1}{4} = -2$ лежит в интервале $[-3{,}32; 3{,}7]$ ✓ - $\log_{2}16 = 4$ не лежит в интервале $[-3{,}32; 3{,}7]$ (так как $4 > 3{,}7$) ✗

Задание №13УравненияЕГЭ по математике