Question

а) Решите уравнение $\frac{4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{7\sin x}}=0$.

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{13\pi}{2};-5\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю при ненулевом знаменателе; приводим показательное уравнение к одному основанию и решаем через разложение на множители. **а) Решение уравнения** Дробь обращается в нуль только при нулевом числителе: $$4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}=0$$ Знаменатель требует $\sin x > 0$, откуда $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Приведём обе части к основанию 4: $$4^{\sin 2x}=4^{\sqrt{3}\sin x}$$ Приравняем показатели: $$\sin 2x = \sqrt{3}\sin x$$ Применим формулу двойного угла: $$2\sin x \cos x = \sqrt{3}\sin x$$ Перенесём всё в левую часть: $$2\sin x \cos x - \sqrt{3}\sin x = 0$$ Вынесем общий множитель: $$\sin x(2\cos x - \sqrt{3}) = 0$$ Отсюда либо $\sin x = 0$, либо $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Из $\sin x = 0$ получаем $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Это не удовлетворяет условию $\sin x > 0$. Из $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ получаем $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Проверим ограничение $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k)$: - Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: угол лежит в первой четверти, где $\sin x > 0$. ✓ - Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: угол лежит в четвёртой четверти, где $\sin x < 0$. ✗ Таким образом, общее решение: $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ **б) Отбор корней на отрезке** Найдём значения $k$, при которых $x \in \left[-\frac{13\pi}{2}; -5\pi\right]$: $$-\frac{13\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq -5\pi$$ Вычтем $\frac{\pi}{6}$: $$-\frac{13\pi}{2} - \frac{\pi}{6} \leq 2\pi k \leq -5\pi - \frac{\pi}{6}$$ $$-\frac{39\pi + \pi}{6} \leq 2\pi k \leq -\frac{30\pi + \pi}{6}$$ $$-\frac{40\pi}{6} \leq 2\pi k \leq -\frac{31\pi}{6}$$ $$-\frac{20\pi}{6} \leq \pi k \leq -\frac{31\pi}{12}$$ Разделим на $\pi$: $$-\frac{10}{3} \leq k \leq -\frac{31}{12}$$ $$-3{,}33... \leq k \leq -2{,}58$$ Целые значения: $k = -3$. При $k = -3$: $$x = \frac{\pi}{6} - 6\pi = \frac{\pi - 36\pi}{6} = -\frac{35\pi}{6}$$ Проверим принадлежность: $-\frac{13\pi}{2} = -\frac{39\pi}{6}$ и $-5\pi = -\frac{30\pi}{6}$. $$-\frac{39\pi}{6} < -\frac{35\pi}{6} < -\frac{30\pi}{6}$$ ✓

Задание №13УравненияЕГЭ по математике