Question

а) Решите уравнение $4 \cdot 16^{\sin^2 x} - 6 \cdot 4^{\cos 2x} = 29$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: свести уравнение к одному основанию через замену переменной, решить квадратное уравнение, затем найти все значения синуса и выписать серии решений.

**а) Решение уравнения**

Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$$4 \cdot 16^{\sin^2 x} - 6 \cdot 4^{1 - 2\sin^2 x} = 29$$

Преобразуем второе слагаемое:

$$4 \cdot 16^{\sin^2 x} - 6 \cdot \frac{4}{4^{2\sin^2 x}} = 29$$

Заметим, что $4^{2\sin^2 x} = (2^2)^{2\sin^2 x} = 2^{4\sin^2 x} = 16^{\sin^2 x}$:

$$4 \cdot 16^{\sin^2 x} - \frac{24}{16^{\sin^2 x}} = 29$$

Обозначим $t = 16^{\sin^2 x}$, где $t > 0$. Умножим обе части на $t$:

$$4t^2 - 24 = 29t$$

$$4t^2 - 29t - 24 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 29^2 + 4 \cdot 4 \cdot 24 = 841 + 384 = 1225 = 35^2$$

Найдём корни:

$$t_1 = \frac{29 + 35}{8} = \frac{64}{8} = 8$$

$$t_2 = \frac{29 - 35}{8} = \frac{-6}{8} < 0$$

Второй корень не подходит, так как $t > 0$.

Вернёмся к переменной $x$:

$$16^{\sin^2 x} = 8$$

$$2^{4\sin^2 x} = 2^3$$

$$4\sin^2 x = 3$$

$$\sin^2 x = \frac{3}{4}$$

$$\sin x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$

При $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

При $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке** $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$

Проверим каждую серию:

Из $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ при $k = 1$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$ — принадлежит отрезку.

Из $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ при $k = 1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$ — принадлежит отрезку.

Из $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ при $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ — не принадлежит отрезку (меньше $\frac{3\pi}{2}$).

Из $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ при $k = 1$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ — не принадлежит отрезку.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике