Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} y=-\left| x-a ight|+1, \ \left| y ight|+x^{2}+2x=0 \end{array} ight.$$

имеет ровно четыре различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: переписать второе уравнение в виде двух случаев в зависимости от знака $y$, найти геометрические особенности графиков и определить значения параметра, при которых происходит ровно четыре пересечения.

Из второго уравнения получаем $|y| = -x^2 - 2x$.

При $y \geq 0$: $y = -x^2 - 2x$.

При $y < 0$: $y = x^2 + 2x$.

Для ветви $y = -x^2 - 2x$ найдём вершину параболы:

$$x_0 = -\frac{-2}{2} = -1, \quad y_0 = -1 + 2 = 1$$

Нули: $-x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = -2$.

Для ветви $y = x^2 + 2x$ вершина:

$$x_0 = -\frac{2}{2} = -1, \quad y_0 = 1 - 2 = -1$$

Нули: $x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = -2$.

Первое уравнение задаёт два луча с вершиной в точке $(a, 1)$:
- при $x \geq a$: $y = -x + a + 1$;
- при $x < a$: $y = x - a + 1$.

**Случай 1.** Пересечение луча $y = -x + a + 1$ с параболой $y = -x^2 - 2x$:

$$-x^2 - 2x = -x + a + 1$$
$$x^2 + x + a + 1 = 0$$
$$D = 1 - 4(a+1) = -3 - 4a$$

Для касания (одна точка пересечения): $D = 0 \Rightarrow a = -\frac{3}{4}$.

**Случай 2.** Пересечение луча $y = x - a + 1$ с параболой $y = x^2 + 2x$:

$$x^2 + 2x = x - a + 1$$
$$x^2 + x + a - 1 = 0$$
$$D = 1 - 4(a-1) = 5 - 4a$$

Для касания: $D = 0 \Rightarrow a = \frac{5}{4}$.

**Случай 3.** Пересечение луча $y = x - a + 1$ с параболой $y = -x^2 - 2x$:

$$-x^2 - 2x = x - a + 1$$
$$x^2 + 3x - a + 1 = 0$$
$$D = 9 - 4(-a+1) = 5 + 4a$$

Для касания: $D = 0 \Rightarrow a = -\frac{5}{4}$.

Анализируя расположение графиков и количество пересечений при различных значениях $a$, система имеет ровно четыре решения при:

$$a \in \left(-\frac{5}{4}, -\frac{3}{4}\right) \cup \left(-\frac{3}{4}, \frac{5}{4}\right)$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике