Question

Определите все значения параметра $a$, при которых уравнение
$$\sqrt{x-a}\cdot\ln(3x-a)=\ln(3x-a)\ln(x-1)$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: перенести все в левую часть, вынести общий множитель и разобрать два случая — обнуление логарифма и равенство подкоренного выражения квадрату.

Перенесём всё в левую часть:
$$\sqrt{x-a}\cdot\ln(3x-a)-\ln(3x-a)\ln(x-1)=0$$

Вынесем общий множитель:
$$\ln(3x-a)\left(\sqrt{x-a}-\ln(x-1)ight)=0$$

Поскольку корень должен лежать на $[0;1]$, рассмотрим два случая:

**Случай 1:** $\ln(3x-a)=0$

Из условия $\ln(3x-a)=0$ получаем $3x-a=1$, откуда $x=\frac{1+a}{3}$.

Для принадлежности $x$ отрезку $[0;1]$ требуется:
- $a \leq x$ (из условия $x-a \geq 0$);
- $0 \leq \frac{1+a}{3} \leq 1$ (из условия $x \in [0;1]$).

Из второго условия: $-1 \leq a \leq 2$.

Из первого условия $a \leq \frac{1+a}{3}$ получаем $3a \leq 1+a$, то есть $a \leq \frac{1}{2}$.

Таким образом, $x=\frac{1+a}{3}$ является корнем при $a \in [-1; \frac{1}{2}]$.

**Случай 2:** $\sqrt{x-a}=\ln(x-1)$

Возведём в квадрат:
$$x-a=(x-1)^2$$

Для корректности возведения в квадрат нужно $\ln(x-1) \geq 0$, то есть $x \geq 1$.

Учитывая ограничение $x \in [0;1]$, единственное возможное значение — $x=1$.

Подставим $x=1$:
$$1-a=(1-1)^2=0$$
$$a=1$$

Проверим условие $3x-a>0$: $3 \cdot 1 - 1 = 2 > 0$ ✓

Корни совпадают, если $\frac{1+a}{3}=1$, откуда $a=2$.

При $a=2$ имеем $a 
otin [-1; \frac{1}{2}]$, поэтому корни не совпадают ни при каких $a$.

**Вывод:**

- При $a \in [-1; \frac{1}{2}]$ есть корень $x=\frac{1+a}{3}$.
- При $a=1$ есть корень $x=1$.
- Ровно один корень на $[0;1]$ при $a \in [-1; \frac{1}{2}] \cup \{1\}$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике