Question

Решите неравенство:

$$\frac{0{,}125^{x}-64}{16^{x}-4^{x+1}+4}\leq0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: найти область определения, упростить числитель и знаменатель через степени двойки, затем решить полученное неравенство.

**Область определения:**

Знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$16^{x}-4^{x+1}+4
eq0$$

$$16^{x}-4\cdot 4^{x}+4
eq0$$

$$(4^{x}-2)^{2}
eq0$$

$$4^{x}
eq2$$

$$2^{2x}
eq 2^{1}$$

$$x
eq\frac{1}{2}$$

**Решение неравенства:**

Приведём числитель и знаменатель к степеням двойки. Заметим, что $0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}$ и $64 = 2^{6}$:

$$0{,}125^{x}-64 = (2^{-3})^{x}-2^{6} = 2^{-3x}-2^{6}$$

Знаменатель:

$$16^{x}-4^{x+1}+4 = (2^{4})^{x}-4\cdot 2^{2x}+4 = 2^{4x}-4\cdot 2^{2x}+4 = (2^{2x}-2)^{2}$$

Исходное неравенство принимает вид:

$$\frac{2^{-3x}-2^{6}}{(2^{2x}-2)^{2}}\leq0$$

Так как знаменатель $(2^{2x}-2)^{2} > 0$ при $x 
eq \frac{1}{2}$, неравенство равносильно:

$$2^{-3x}-2^{6}\leq0$$

$$2^{-3x}\leq 2^{6}$$

$$-3x\leq 6$$

$$x\geq -2$$

**Объединение с ограничением:**

Решение: $x \in [-2; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике