Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$\left( \left| x-a-2 \right|+\left| x-a+2 \right| \right)^{2}+a\left( \left| x-a-2 \right|+\left| x-a+2 \right| \right)+a^{2}-64=0$$
имеет ровно два различных корня.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: ввести замену переменной для суммы модулей, проанализировать её поведение в зависимости от $x$, а затем найти условия на $a$, при которых исходное уравнение имеет ровно два решения. Обозначим $t = \left| x-a-2 ight|+\left| x-a+2 ight|$. Тогда уравнение принимает вид: $$t^{2}+at+a^{2}-64=0$$ Проанализируем функцию $t(x) = \left| x-a-2 ight|+\left| x-a+2 ight|$. Нули подмодульных выражений: $x = a+2$ и $x = a-2$. Рассмотрим три интервала: При $x \leq a-2$: $$t = -(x-a-2) - (x-a+2) = -2x+2a$$ При $a-2 < x < a+2$: $$t = -(x-a-2) + (x-a+2) = 4$$ При $x \geq a+2$: $$t = (x-a-2) + (x-a+2) = 2x-2a$$ Таким образом, функция $t(x)$ представляет собой V-образную кривую с горизонтальным отрезком на уровне $t = 4$ при $x \in [a-2, a+2]$, и линейными участками с наклоном $\pm 2$ вне этого интервала. Для каждого значения $t$ количество решений уравнения $t(x) = t_0$ равно: - бесконечности, если $t_0 = 4$; - нулю, если $t_0 < 4$; - двум, если $t_0 > 4$. Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, квадратное уравнение $t^{2}+at+a^{2}-64=0$ должно иметь два различных корня, оба больших 4. **Случай 1:** Оба корня больше 4. Парабола $f(t) = t^{2}+at+a^{2}-64$ имеет ветви, направленные вверх. Для того чтобы оба корня лежали справа от 4, необходимо и достаточно, чтобы $f(4) < 0$: $$16 + 4a + a^{2} - 64 < 0$$ $$a^{2} + 4a - 48 < 0$$ $$(a+2)^{2} - 52 < 0$$ $$(a+2-2\sqrt{13})(a+2+2\sqrt{13}) < 0$$ Отсюда: $$a \in (-2-2\sqrt{13}, -2+2\sqrt{13})$$ **Случай 2:** Один корень равен 4, другой больше 4. Если $t = 4$ — корень уравнения: $$16 + 4a + a^{2} - 64 = 0$$ $$a^{2} + 4a - 48 = 0$$ $$a = -2 \pm 2\sqrt{13}$$ При этом второй корень находится по формуле Виета: $t_2 = -a - 4$. Для $a = -2 + 2\sqrt{13}$: $t_2 = 2 - 2\sqrt{13} < 4$ (не подходит). Для $a = -2 - 2\sqrt{13}$: $t_2 = 2 + 2\sqrt{13} > 4$ (подходит). Однако в этом случае одно значение $t$ равно 4 (бесконечно много решений по $x$), что не даёт ровно два корня. **Случай 3:** Дискриминант равен нулю и вершина парабол выше 4. $$D = a^{2} - 4(a^{2}-64) = 0$$ $$-3a^{2} + 256 = 0$$ $$a^{2} = \frac{256}{3}$$ $$a = \pm \frac{16\sqrt{3}}{3}$$ Вершина находится в точке $t_{ ext{верш}} = -\frac{a}{2}$. Условие $t_{ ext{верш}} > 4$ даёт $-\frac{a}{2} > 4$, то есть $a < -8$. Проверим: $\frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9{,}24 > 0$ и $-\frac{16\sqrt{3}}{3} \approx -9{,}24 < -8$. Значит, $a = -\frac{16\sqrt{3}}{3}$ подходит, но даёт один корень кратности 2, что соответствует двум совпадающим решениям по $x$ (не два различных). Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при: $$a \in (-2-2\sqrt{13}, -2+2\sqrt{13})$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике