Question

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определённой на интервале $(−5;14)$ . Найдите количество точек минимума функции $f(x)$ , принадлежащих отрезку $[−4;9]$ .

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/5idOhf3SFvETxLnXhu0wt4NzyFPRR2WufI1VO2lM.png)

Accepted Answer

4

Answer

Идея решения: найти нули производной на заданном отрезке, а затем выделить те из них, где производная меняет знак с отрицательного на положительный.

Экстремумы функции $f(x)$ соответствуют точкам пересечения графика $y=f'(x)$ с осью абсцисс на отрезке $[−4;9]$. По графику видим, что производная обращается в нуль в точках:

$$x = -2{,}5; \quad x = 0{,}5; \quad x = 1{,}5; \quad x = 6; \quad x = 7{,}5; \quad x = 8{,}5$$

Точка минимума функции $f(x)$ — это точка, где производная переходит от отрицательных значений к положительным (знак меняется с минуса на плюс).

Проанализируем поведение $f'(x)$ около каждого нуля:

- При $x = -2{,}5$: производная меняет знак с $−$ на $+$ → **минимум**.
- При $x = 0{,}5$: производная меняет знак с $−$ на $+$ → **минимум**.
- При $x = 1{,}5$: производная меняет знак с $+$ на $−$ → максимум.
- При $x = 6$: производная меняет знак с $−$ на $+$ → **минимум**.
- При $x = 7{,}5$: производная меняет знак с $+$ на $−$ → максимум.
- При $x = 8{,}5$: производная меняет знак с $−$ на $+$ → **минимум**.

Таким образом, на отрезке $[−4;9]$ функция имеет четыре точки минимума: $x = -2{,}5$, $x = 0{,}5$, $x = 6$ и $x = 8{,}5$.

Задание №8Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике