Question

Вычислите $\sqrt{2}\sin\frac{7\pi}{8}\cdot\cos\frac{7\pi}{8}$.

Accepted Answer

-0,5

Answer

Идея решения: применить формулу двойного угла для синуса, чтобы свести произведение синуса и косинуса к одному тригонометрическому значению.

Воспользуемся тождеством $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$:

$$\sqrt{2}\sin\frac{7\pi}{8}\cdot\cos\frac{7\pi}{8} = \sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 2\sin\frac{7\pi}{8}\cos\frac{7\pi}{8}$$

$$= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin\left(2\cdot\frac{7\pi}{8}\right)$$

$$= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin\frac{7\pi}{4}$$

Найдём $\sin\frac{7\pi}{4}$. Заметим, что $\frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$, поэтому:

$$\sin\frac{7\pi}{4} = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставим:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{2}{4} = -0{,}5$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике